arctanx的圖像可以用以下方式來(lái)記?。?. 首先，arctanx是反正切函數(shù)，也就是y=tanx的反函數(shù)，因此它和tanx的圖像有直接的關(guān)系。

2. 函數(shù)y=tanx的圖像可以看作是周期為π的一段曲線(xiàn)，上升到正無(wú)窮，下降到負(fù)無(wú)窮，并且在π/2和-π/2處有一個(gè)垂直漸近線(xiàn)。

3. 接著，我們可以對(duì)整個(gè)函數(shù)進(jìn)行y=x的對(duì)稱(chēng)，得到其在第一象限的一段圖像，這段圖像和y=x的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，有一個(gè)水平漸近線(xiàn)y=π/2，以及一個(gè)和y=tanx的垂直漸近線(xiàn)相切的曲線(xiàn)段。

4. 最后，我們?cè)賹?duì)整個(gè)圖像進(jìn)行關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)，得到在全平面內(nèi)的arctanx的圖像，它和tanx的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，有水平漸近線(xiàn)y=π/2和y=-π/2，以及兩個(gè)相切的垂直漸近線(xiàn)x=π/2和x=-π/2。

因此，我們可以通過(guò)對(duì)tanx函數(shù)的圖像進(jìn)行對(duì)稱(chēng)和移動(dòng)，來(lái)記憶arctanx的圖像。

作反正切函數(shù)y=arctanx的圖像基本上有三種方法，第一種是最原始的方法：描點(diǎn)法，這樣只能作出函數(shù)圖像的大概形狀，并不準(zhǔn)確；第二種是根據(jù)反函數(shù)與原函數(shù)的圖像關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)的圖像畫(huà)出反正切函數(shù)的圖像，這種方法作出來(lái)的圖像比較準(zhǔn)確；還有最后一種方法是運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)出圖像，這種方法更能觸碰到函數(shù)的實(shí)質(zhì)。

不論用哪一種方法，我們都要先明確，反正切函數(shù)的值域在(-π/2,π/2)，只是對(duì)應(yīng)正切函數(shù)的相同周期，而不是對(duì)應(yīng)所有的周期，這是由單值函數(shù)的唯一性決定的。

首先是描點(diǎn)法，可以先列一個(gè)表格，列出幾個(gè)常用反正切函數(shù)的自變量x，或者正切函數(shù)值，再寫(xiě)出它們的反正切函數(shù)值y.

然后建立平面直角坐標(biāo)系，將把上面各點(diǎn)描在坐標(biāo)系中，然后用平滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)就可以了

如果利用互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)系y=x對(duì)稱(chēng)，就要先明確正切函數(shù)在(-π/2,π/2)上的函數(shù)圖像，其實(shí)也是用描點(diǎn)法作出來(lái)的。不過(guò)正切函數(shù)y=tanx的圖像畢竟是我們比較熟悉，顯然與它關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)的圖像和上面用描點(diǎn)法作出來(lái)的圖形還是有一點(diǎn)差別的。如圖2：（圖中紅色曲線(xiàn)是反正切函數(shù)的圖像，紫色曲線(xiàn)是正切函數(shù)的圖像）

最后一種方法，是通過(guò)分析反正切函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定它的圖像的，做出來(lái)的圖像雖然并不一定特別準(zhǔn)確，但它能讓我們更全面地理解這個(gè)函數(shù)。

首先，反正切函數(shù)y=arctanx的定義域是R，值域是(-π/2,π/2)。其它，它是一個(gè)奇函數(shù)，所以f(0)=0, 即圖像過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)。

其次讓arctanx的導(dǎo)數(shù)等于1/(1+x^2)>0，我們可以知道這是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)。又arctanx的二階導(dǎo)數(shù)等于-2x/(1+x^2)^2在x=0有拐點(diǎn)，且當(dāng)x<0時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)大于0，所以函數(shù)在(-無(wú)窮大，0)上是一個(gè)凹函數(shù)；而當(dāng)x>0時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)小于0，所以函數(shù)在(0,+無(wú)窮大)上是一個(gè)凸函數(shù)。

最后我們可以利用求漸近線(xiàn)的公式：lim(x->∞) arctanx/x =0, 且 lim(x->+∞) [y- kx] = π/2, lim(x->-∞) [y- kx] = -π/2，得到函數(shù)圖像的兩條水平漸近線(xiàn)。

三種方法沒(méi)有優(yōu)劣之分，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就必須全部都掌握下來(lái)。如果你有更好的畫(huà)法，不妨在評(píng)論區(qū)中分享給大家，謝謝。