充要條件：相似矩陣與合同矩陣的秩都相同，二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數(shù)相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。

相似矩陣與合同矩陣的秩都相同，設M是n階實系數(shù)對稱矩陣， 如果對任何一非零實向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，則稱f(X)為正定二次型，f(X)的矩陣M稱為正定矩陣。一種實對稱矩陣。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩陣A(=A′)稱為正定矩陣。