留數(shù)定理公式：f(z)=1/[z·(z-1)2] 。在復(fù)分析中，留數(shù)定理是用來(lái)計(jì)算解析函數(shù)沿著閉曲線的路徑積分的一個(gè)有力的工具，也可以用來(lái)計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。

在計(jì)算柯西分布的特征函數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)，用初等的微積分是不可能把它計(jì)算出來(lái)的。把這個(gè)積分表示成一個(gè)路徑積分的極限，積分路徑為沿著實(shí)直線從?a到a，然后再依逆時(shí)針方向沿著以0為中心的半圓從a到?a。取a為大于1，使得虛數(shù)單位i包圍在曲線里面。

比如，f(z)=1/[z·(z-1)2]

求：1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]

1.把f(z)在圓環(huán)域：0＜|z|＜1內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)：

f(z)=1/z·1/(z-1)2=1/z·(1+2z+3z2+……)

展開式的C(-1)=1

所以，res[f(z),0]=1

2.把f(z)在圓環(huán)域：0＜|z-1|＜1內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)：

f(z)=1/(z-1)2·1/[1+(z-1)]

=1/(z-1)2·[1-(z-1)+(z-1)2-(z-1)3+……]

展開式的C(-1)=-1

所以，res[f(z),1]=-1

留數(shù)是復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)重要概念，指解析函數(shù)沿著某一圓環(huán)域內(nèi)包圍某一孤立奇點(diǎn)的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線的積分值除以2πi。留數(shù)數(shù)值上等于解析函數(shù)的洛朗展開式中負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)。根據(jù)孤立奇點(diǎn)的不同，采用不同的留數(shù)計(jì)算方法。留數(shù)常應(yīng)用在某些特殊類型的實(shí)積分中，從而大大簡(jiǎn)化積分的計(jì)算過(guò)程。