一、 直角坐標系——直角坐標系又稱笛卡兒坐標系在直角坐標系中，質點的位置矢徑可以寫成為： （1）根據(jù)速度的定義可知 將（1）代入，則有1、速度： 于是，我們比較上面的等式，就可得到速度在直角坐標系中的分量表達式為：可見速度沿三直角坐標軸的分量（即分速度）就等于其相應的坐標對時間t 的一階導數(shù)。

速度的大?。?速度的方向就用方向余弦來表示： 。

同理，我們由加速度的定義不難得到它的分量表達式。

2、加速度根據(jù)加速度的定義： 比較這些恒等式可得加速度的直角坐標分量表達式： 于是可得加速度的大小為： 加速度的方向用方向余弦表示。

如果質點始終在某一平面內運動，我們采用的坐標是平面正交坐標系的話，那么將上面的分量表達式中的某一分量去掉，剩下的就是平面正交坐標系中的分量表達式了。

二、 平面極坐標系在研究質點的平面曲線運動問題時，除了可用平面正交坐標系外，還可以采用平面極坐標系。

有時采用極坐標系會比采用平面正交坐標系來計算問題要簡單的多，特別是在研究有心力作用的力學問題時，采用極坐標就更顯示出它的優(yōu)越性。

在平面極坐標系中，質點的位置是用極徑r和極角θ這兩個極坐標來確定的。

在平面極坐標系中的單位矢量的取法與正交坐標系的情形是不同的，在這里是沿矢徑方向上取一單位矢量 為徑向單位矢量。

在垂直矢徑方向上取一單位矢量 就稱做橫向單位矢量。

于是，在極坐標中，運動質點的位置矢徑： 。

因為得到了位矢在具體的坐標系中的表達式，然后根據(jù)速度和加速度的定義，相繼就可以推出它們在具體的坐標系中的分量表達式。

所以，由速度的定義 這個結果對不對？不對。

為什么不對？……，千萬要注意：這里的單位矢量 與直角坐標系中的單位矢量是不同的。

盡管這兒的單位矢量 和 的大小仍然等于１是不變的，但是，它們的方向卻是隨時在變化的，因此它們不是恒矢量而是變矢量，既然是變量，它們對時間的微商當然就不會等于０了： 所以上式中還有一項要考慮進去。

不能把它丟掉。

所以，速度應該等于： 這兩項之和。

下面我們先來計算 為了直觀起見，我們結合圖來討論（上課時添加一圖）。

從圖上可以清楚地看到運動質點從Ｍ這位置移到 這個位置時，單位矢量的方向都發(fā)生了變化，它們的變化量分別為 和d 。

這兩個變化量都是由于單位矢量的方向的改變所引起的變化量，單位矢量的大小等于１是不變的。

于是我們就很容易得到徑向單位矢量對時間微商的大?。?它的方向與與橫向單位矢 相同。

所以 對時間Ｔ的微商 。

同樣道理可以得到橫向單位矢量對時間的微商 。

為什么這里要加一個負號呢？從圖上可以看到d 的方向與 的方向反向，所以這里要加上一個負號表示 與 的方向相反。

將結果代入前式。

則有： （１）[因為：速度是矢量，所以可以將它投影到徑向和橫向上去。

得到徑向分速度 和橫向分速度 ，就分別稱它們?yōu)閺较蛩俣群蜋M向速度，所以，它又恒等于 ]于是，我們比較（１）的兩個恒等式可見徑向速度分量： ；橫向速度分量 。

這就是速度在平面極坐標系的兩個分量表達式, 由此可得速度的大小為： 我們結合上面的討論由（１）式不難了解它們的物理意義：徑向速度 是由位矢大小的變化引起的。

我們對（１）再求一次微商就能得到加速度在平面極坐標中的分量表達式： = 同樣道理，我們也可以將加速度 沿徑向和橫向分解成兩個分量，沿徑向的分量就用相應的符號 表示，沿橫向的加速度分量就用 表示。

所以上式又等于 。

我們就將此式的第一項叫做徑向加速度，第二項就叫做橫向加速度。

由（２）這個等式可見：徑向加速度的大小 , 橫向加速度的大小 。

故有加速度的大小： 。

這里要我們引起注意的是：同學中往往容易把第二項給丟了，因為徑向速度 ，則徑向加速度就等于極徑的二次微商 。

這項只是由徑向速度大小的變化所引起的，所以我們除了要考慮這一項之外，還得考慮由于橫向速度的方向的改變所引起的另一項 ，它也是徑向的。

這一點必須要記住，應用時不要忘了第二項。

我希望大家課外由 去推導一下。

通過推導不僅可以加深我們的印象，而且還能夠使我們在推導過程中明確各項量的物理意義。

三、柱坐標系：接下去介紹一下與平面極坐標有關的另一種空間坐標系，即柱坐標系。

在平面極坐標系的基礎上，我們就可以很省力地給出速度和加速度在柱坐標系中的分量表達式。

對柱坐標系我想大家還是比較熟的，直角坐標與極坐標的變換關系大家都知道，即： 在三維空間運動的質點Ｐ的位置，在極坐標系中是由〈 〉這三個坐標來確定的。

我們從圖上可以看到，這三個柱坐標就是由運動質點在空間任一點的位置Ｐ在ＯＸＹ平面上垂足（即投影點M），它在ＯＸＹ這個平面內的極坐標（Ｒ， ）加上這個垂直坐標Ｚ而構成的。

所以，在柱坐標系中，運動質點的位置矢徑 的具體表達式好不好寫呢？它只是比平面極坐標系多了一個Ｚ分量而已。

位置矢徑 就等于： （１）［這里的單位矢量就如圖哪樣取……。

］仿照平面極坐標系的推導方法，就能很快地推出速度和加速度在極坐標系中的分量表達式：速度 （２）所以速度 在 這三個方向的分量分別為： 。

速度的大?。?。

加速度就等于： 則加速度的三個分量為： ，加速度的大?。?我們從（２），（３）兩式可以看出，速度，加速度在柱坐標系中的分量只是比平面極坐標系多了一個Ｚ方向的分量。

因此，只要記住了速度、加速度在平面極坐標系中的分量式。

那么，它們在柱坐標中的分量式也就不難記住了。

在平面極坐標的速度和加速度的分量表達式一定要記住。

接下去介紹速度，加速度在自然坐標系中的分量式，也就是內稟方程。

四、自然坐標系：——內稟方程在這里我們只研究平面運動的情況［質點作平面運動的情況］。

當質點在作平面曲線運動的情況下，采用自然坐標系比采用極坐標系，有時顯得更加方便一些。

對自然坐標大家是熟悉的。

因為，在《力學基礎》中已經(jīng)學過。

什么是自然坐標？請哪個同學回答。

所謂的自然坐標，就是在已知的質點運動軌跡上取任一點Ｏ做為原點，并規(guī)定軌跡的方向。

質點在任意時刻的位置就用它相對質點Ｏ的曲線弧長Ｓ來確定的，這個弧坐標Ｓ稱為自然坐標。

如果我們把質點的運動軌跡的切線和法線作為坐標軸而建立坐標系，這種坐標系就叫做“自然坐標系”。

自然坐標系的方位指向是隨著運動質點的位置的變化而變化的。

在自然坐標系中我們同樣可以將速度和加速度分解成切向和法向分量。

今天我們不采用過去的推導方法，而采用更簡潔的方法得出同樣的結論。

推導的出發(fā)點仍然是他們的定義。

［因為在極限的情況下 ， 的方向就是質點在該點軌跡的切線方向，所以 我們可以用切線方向上的單位矢量來表示。

路程Ｓ對時間的變化率就是速率即速度的大?。荨?/p>

所以根據(jù)加速度的定義有： [如果我們令軌道的切線和X軸的 夾角為θ的話，哪么我們套用前面 這一結果，就很容易地得到： 這里的 是垂直與 指向曲線凹的一面的單位矢量即法向 的單位矢量。

為了使角量不在這個式子中出現(xiàn)，我們可以想辦法用其他的量代替它。

我們可以將 寫成為： 這個比值我們由高等數(shù)學知識可知，它就等于曲線在該處的曲率，即該處曲率半徑 的倒數(shù)： 于是可得切向加速度的大?。?……（2）法向加速度的大小 (3) 由前面的推導可知切向加速度是由速度的大小改變而引起的，法向加速度是由速度方向的改變所引起的。

所以，當質點作曲線運動時，切向加速度有可能等于0，而法向加速度不可能有等于零的情況的。

由于 和 都與坐標系無關。

只與軌道的本身性質有關。

因此，（2）（3）兩式有時也就稱為內稟性方程。

上面我們討論的前提是質點作平面運動。

那么，所得 到的結果對空間曲線運動能否適用呢？對這個回答是肯定的，它還能適用于空間曲線，在這里我們要碰到微分幾何學上的一個基本概念：密切平面，我們書上敘述比較繁，我們初次接觸往往不容易看懂，我用一句簡單的話幫助我們理解密切平面的概念。

由 確定的平面就是密切平面，如果我們用 表示切向單位矢量， 那么， 的方向就是決定主法線的方向，我們就用 來表示主法線方向上的單位矢量。

除了位于密切平面內的主法線之外。

還有一條垂直與切平面的副法線。

副法線方向的單位矢量就用符號 表示。

它的方向由 和 的方向決定，用矢量式表示的話，則有： = × 。

遵循右手螺旋法則。

所以在上圖應該這樣畫（見上圖）。

這個切向和主法線方向 組成的平面也就是密切平面。

由于加速度總是位于軌跡的密切平面內，所以，加速度只有在切線方向和主法線方向上的分量，加速度在垂直于密切平面的副法線方向上的加速度分量必定是等于0的。

最后再介紹一下球坐標系中的速度和加速度。

五、球坐標系運動質點在球坐標系中的位置是用球坐標 來表示的。

這兒的三個單位矢量是 ，直角坐標與球坐標得關系為： 所以，在球坐標系中質點的位置矢徑可寫成為：= r + r + 同樣根據(jù)速度和加速度的定義可以求出球坐標系中的速度和加速度的表達式：我將結果寫出來，推導過程就留給大家去做。

作為這次課的作業(yè)。

= +r +r = ( —r —r θ)+ (r +2 —r ) + (r +2 +2r )可見結果很繁，一般不用球坐標研究運動問題。