一、兩個定理

1、共線向量定理：

兩向量共線（平行）等價于兩個向量滿足數(shù)乘關(guān)系（與實數(shù)相乘的向量不是零向量），且數(shù)乘系數(shù)唯一。用坐標形式表示就是兩向量共線則兩向量坐標的“內(nèi)積等于外積”。此定理可以用來證向量平行或者使用向兩平行的條件。此定理的延伸是三點共線！

三點共線可以向兩個向量的等式轉(zhuǎn)化：1. 三個點中任意找兩組點構(gòu)成的兩個向量共線，滿足數(shù)乘關(guān)系；

2. 以同一個點為始點、三個點為終點構(gòu)造三個向量，其中一個可由另外兩個線性表示，且系數(shù)和為1。

2、平面向量基本定理：

平面內(nèi)兩個不共線的向量可以線性表示任何一個向量，且系數(shù)唯一。這兩個不共線的向量構(gòu)成一組基底，這兩個向量叫基向量。

此定理的作用有兩個：

1. 可以統(tǒng)一題目中向量的形式；

2. 可以利用系數(shù)的唯一性求向量的系數(shù)（固定的算法模式）。

二、三種形式

平面向量有三種形式，字母形式、幾何形式、坐標形式。字母形式要注意帶箭頭，多考慮幾何形式畫圖解題，特別是能得到特殊的三角形和四邊形的情況，向量的坐標和點的坐標不要混淆，向量的坐標是其終點坐標減始點坐標，特殊情況下，若始點在原點，則向量的坐標就是終點坐標。

選擇合適的向量形式解決問題是解題的一個關(guān)鍵，優(yōu)先考慮用幾何形式畫圖做，然后是坐標形式，最后考慮字母形式的變形運算。

三、四種運算

加、減、數(shù)乘、數(shù)量積。前三種運算是線性運算，結(jié)果是向量（0乘以任何向量結(jié)果都是零向量，零向量乘以任何實數(shù)都是零向量）；數(shù)量積不是線性運算，結(jié)果是實數(shù)（零向量乘以任何向量都是0）。線性運算符合所有的實數(shù)運算律，數(shù)量積不符合消去律和結(jié)合律。

向量運算也有三種形式：字母形式、幾何形式和坐標形式。

加減法的字母形式注意首尾相接和始點重合。數(shù)量積的字母形式公式很重要，要能熟練靈活的使用。

加減法的幾何意義是平行四邊形和三角形法則，數(shù)乘的幾何意義是長度的伸縮和方向的共線，數(shù)量積的幾何意義是一個向量的模乘以另一個向量在第一個向量方向上的射影的數(shù)量。向量的夾角用尖括號表示，是兩向量始點重合或者終點重合時形成的角，首尾相接形成的角為向量夾角的補角。

射影數(shù)量有兩種求法：1. 向量的模乘以夾角余弦；2. 兩向量數(shù)量積除以另一向量的模。

加減法的坐標形式是橫縱坐標分別加減，數(shù)乘的坐標形式是實數(shù)乘以橫、縱坐標，數(shù)量積的坐標形式是橫坐標的乘積加縱坐標的乘積。

四、五個應(yīng)用

求長度、求夾角、證垂直、證平行、向量和差積的模與模的和差積的關(guān)系。前三個應(yīng)用是數(shù)量積的運算性質(zhì)，證平行的數(shù)乘運算性質(zhì)，零向量不能說和哪個向量方向相同或相反，規(guī)定零向量和任意向量都平行且都垂直；一個向量乘以自己再開方就是長度；兩個向量數(shù)量積除以模的乘積就是夾角的余弦；兩個向量滿足數(shù)乘關(guān)系則必定共線（平行）。一個向量除以自己的模得到和自己同方向的單位向量，加符號是反方向的單位向量。