令u＝y(tǒng)/x，則y＝xu，y'＝u＋xu'。方程化為：

u＋xu'＝(u－1)/(4u＋1)。

分離變量，得：(4u＋1)/(1＋4u^2)du＝－dx。

兩邊積分，得：1/2×ln(1＋4u^2)＋1/2×arctan(2u)＝－x＋1/2×C。

即 ln(1＋4u^2)＋arctan(2u)＋2x＝C。

帶入u＝y(tǒng)/x，得原方程的通解：

ln(1＋4y^2/x^2)＋arctan(2y/x)＋2x＝C。

應用

"齊次"從詞面上解釋是"次數(shù)相等"的意思。

微分方程

中有兩個地方用到"齊次"的叫法：

1、形如y'=f(y/x)的方程稱為"齊次方程

"，這里是指方程中每一項關(guān)于x、y的次數(shù)都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次項，而y/x算0次項，方程y'=1+y/x中每一項都是0次項，所以是"齊次方程"。

2、形如y''+py'+qy=0(其中p和q為關(guān)于x的函數(shù))的方程稱為"齊次線性方程"，這里"線性"是指方程中每一項關(guān)于未知函數(shù)y及其導數(shù)y',y'',……的次數(shù)都是相等的(都是一次)，"齊次"是指方程中沒有自由項(不包含y及其導數(shù)的項)，方程y''+py'+qy=x就不是"齊次"的，因為方程右邊的項x不含y及y的導數(shù)，因而就要稱為"非齊次線性方程"。

另外在線性代數(shù)

里也有"齊次"的叫法，例如f=ax+bxy+cy^2稱為二次齊式，即二次齊次式的意思，因為f中每一項都是關(guān)于x、y的二次項。